Datation au carbone 14

D'après le sujet de bac STL-STI2D, Nouvelle-Calédonie, 2014.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Les organismes vivants contiennent naturellement du carbone 14 (élément radioactif) provenant des rayons cosmiques, qui est constamment renouvelé et qui se maintient à la valeur de \(15{,}3\) unités. À leur mort, l’assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre.

On note \(f(t)\) la concentration en carbone 14 présent dans un organisme à l’instant \(t\) après sa mort (\(t\) exprimé en milliers d’années).

Partie A

On admet que \(f\) est une solution sur \(\left[0\, ; +\infty\right[\) de l’équation différentielle :
\(y' = -0{,}124y \quad (E).\)

1. Résoudre l’équation différentielle \((E)\).
2. Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) vérifiant la condition initiale \(f(0) = 15{,}3\).

Partie B

On admet que la fonction \(f\) est définie par \(f(t) = 15{,}3\text e^{-0{,}124t}\) sur \(\left[0\, ; +\infty\right[\).

1. Déterminer les variations de \(f\) sur \(\left[0\, ; +\infty\right[\).
2. Déterminer la limite de \(f\) au voisinage de l’infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

Partie C

On rappelle que la fonction \(f\) donnée dans la partie B donne la concentration en carbone 14 dans un organisme après sa mort en fonction de \(t\) (en milliers d’années).
1. Des archéologues ont trouvé des fragments d’os présentant une concentration en carbone 14 égale à \(7{,}27\) unités. Justifier que l’on peut estimer l’âge de ces fragments d’os à \(6~000\) ans.
2. Lorsque la concentration en carbone 14 d’un organisme devient inférieure à \(0{,}3~\%\) de sa valeur initiale on ne peut pas dater raisonnablement à l’aide du carbone 14. Déterminer l’âge à partir duquel un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.